exercices de révision ( vacances d'Hiver )  à préparer pour la rentrée:

-->  correction  du premier exercice:

1) convergence des rayons à la sortie d'une lentille sphéro-plane: position du foyer image F':

on considère une lentille de verre d'indice de réfraction n immergée dans l'air d'indice de réfraction  no = 1

l'objectif poursuivi dans cet exercice est de positionner le foyer image F' par rapport au sommet de la face plane de sortie O2

voici la figure présentant le cheminement d'un rayon parallèle à l'axe principal venant de l'infini objet ( -oo )

le rayon incident en I est proche de l'axe principal et par conséquence :
                               tous les angles représentés seront considérés comme petits ( <10° )

remarque liminaire: le texte dit bien que les angles i,r,i' et r' sont petits cela signifie que de nombreuses simplifications ( approximations ) intéressantes pourront être utilisées:

par exemple:  sin x ~ tan x ~ x    le signe ~ signifiant "sensiblement égal"

de plus les points I J et F' pourront être considérés comme pratiquement alignés, ce qui entraînera que IK  ~ KF' / tanr  = KF' / r  ( très utile pour la question 6)

1) exprimer r' en fonction de i (relation de Kepler )

sini = n.sinr (Descartes) devient i = n.r

2) exprimer de même i' en fonction de r

n.sini' = sinr  devient r = n.i'

3) montrer que i = r' + i'

r' + i' = i  car  (180° - i)  est le supplémentaire de la somme ( r' + i' ) dans le petit triangle fait par I,J et une parallèle à O1F' menée de J ( faire la figure pour le vérifier ! )

4) montrer qu'au final:  r = (n-1)i

r = n.i'  démontré au 2) devient donc r = n ( i - r' ) = ni - nr' = ni - n .(i / n)  = (n - 1 ).i

soit e l'épaisseur O₁O₂ de la lentille

5) exprimer IK en fonction de i et de R le rayon de courbure de la face sphérique d'entrée

IK = R.sini ~ R.i

6) exprimer IK en fonction de KF' et de r

IK~ KF'.tanr ~KF'.r  ( en vertu de ce qui est dit en remarque liminaire )

7) en déduire la relation KF' = R / (n-1)

regroupant les deux résultats précédents on peut donc écrire:

R.i = KF'.r   =>  KF' = R.i/r = R i  / (n-1)i  = R /(n-1)

on rappelle  que le rayon incident est proche de l'axe principal

8) exprimer au final O₂F' en fonction de n,R, et e

le rayon incident étant proche de l'axe on peut écrire en approximation : KO₂ ~O₁O₂ = e

( e = épaisseur de la lentille sur l'axe )

écrivant maintenant  O₂F' ~ KF' - O₁O₂

on obtient au final:  O₂F' =  R / (n-1) - e

cette relation est très utile pour mesurer l'indice de réfraction du verre d'une lentille

à partir de la mesure de l'épaisseur et de la distance " face arrière-foyer image "

-->  correction des 5 premières questions de l'exercice sur le prisme

2) déviation de la lumière par un prisme

on immerge dans l'air un prisme de verre d'indice n et d'angle au sommet A


1) exprimer i' en fonction de i

sin i = n sin i'

2) exprimer r '  en fonction de r

n sin r' = sin r

3) exprimer i'+ r' en fonction de A

en effet: dans le triangle de sommet A le supplémentaire de i' + r' est aussi le supplémentaire de A dans le quadrilatère de sommet A formé par les normales aux arêtes du prisme et les arêtes elles mêmes.

4) exprimer D en fonction des angles présents sur la figure

D = i - i' + r - r' = i + r - ( i' + r' )

on suppose que i' = r'

remarque: dans ce cas l'évidence est que i = r  ce qui entraîne aussi:

                                     D = 2i - A    

de plus i' + r' = A devient  2i' = A soit:

                                      i' = A / 2

5) montrer que dans ce cas on peut- écrire  sin [( D + A ) /  2 ]  = n sin ( A / 2 )

on extrait de la relation émanant de la remarque ci-dessus:

                               i = ( D + A)  / 2 

revenant dans la loi de Descartes:  sin i = n.sin i'   on obtient  au final

                      sin [ (D + A ) / 2 ] = n sin ( A/2 )

6) quelle conséquence sur D entraînera une variation de n vers la valeur n + dn ?

   - considérer dn < 0
   - considérer dn > 0

conseil: exprimer la dérivée d[sin(D+A)/2]/dn et étudier son signe en fonction de celui de dn

7) pourquoi la relation 5 est-elle dite relation de déviation minimale ?