CFBS DGA: leçon 4 Ellipsoide de Fresnel

Vendredi 17 novembre 2006

par jean marie bourven publié dans : i-e 6: CFBS Faisceaux Hertziens

CFBS DGA: leçon 4 Ellipsoide de Fresnel

quatrième leçon: l'ellipsoïde de Fresnel

Lorsqu'un faisceau d'ondes est émis par une antenne de gain élevé, on a vu précédemment que l'énergie électromagnétique se répartissait essentiellement dans le lobe de diffraction central de cette antenne.

Lors de leur parcours spatial, ces ondes parcourent théoriquement un chemin rectiligne: le rayon central, qui est aussi axe de symétrie du lobe.
Cependant, pour des raisons liées aux différents milieux effectivement rencontrés, qui ne sont pas toujours homogènes, ou qui contiennent des particules déviant le trajet théorique, ces ondes peuvent être soumises à une variété de trajets aléatoires ( ondes secondaires) créant des retards à la propagation.

L'énergie reçue par l'antenne de réception est donc majoritairement portée par le rayon central, à laquelles'ajoute l'énergie des rayons secondaires .

Il peut arriver que selon la longueurs ldes trajets suivis, ces ondes secondaires se somment ou au contraire se neutralisent avec l'onde centrale...

... ceci est du au phénomène d'interférence

interférences entre les ondes secondaire et le rayon central:

Lorsque deux ondes de même fréquence et émises en même temps d'un point E suivent des trajets de chemins optiques différents, elles interfèrent avec plus ou moins de bonheur. Leurs énergies peuvent soit se superposer soit se neutraliser.

1er cas: le retard entre elles est faible, leur somme est pratiquement maximale.

( sur la figure ci-desssous, la superposition des champs électriques est clairement proche du maximum)

cette situation correspond à une différence de trajet optique [ER]₁ - [ER]₂ voisin d'un nombre entier de longueurs d'onde ( retard équivalent à une période temporelle de vibration )

2ème cas: par contre, comme l'illustre la seconde figure, si cette différence est proche d'un nombre impair de demi longueurs d'onde ( retard équivalent à une demi période) , alors la superposition des champs donne une résultante quasiment nulle.

Il est donc crucial de tenir compte de ce phénomène d'interférence pour faire le bilan exact de l'énergie reçue par une antenne de réception lors du tir d'un FH (Faisceau Hertzien)

existence de l'ellipsoïde:

Fresnel a montré qu'il existe une zone de l'espace où l'onde centrale et les ondes secondaires sont en état d'interférence constructive : cette zone est un ellipsoïde...voyons pourquoi:

L'ellipsoïde est une figure a 3 dimensions, obtenue en faisant tourner une ellipse autour de son axe ER.

Cette figure possède deux axes orthogonaux ( grand axe et petit axe) , et elle est douée de symétrie centrale par rapport à l'intersection de ces axes et de symétrie axiale par rapport à chacun d'eux.

Sur le grand axe sont disposés les deux foyers F₁ et F₂ dont la distance F₁F₂ est une constante caractéristique de l'ellipse.

La propriété caractéristique d'une ellipse est : F₁MF₂ = constante ( 1)
( astuce utilisée par les jardiniers pour tracer une ellipse avec deux pieux et une ficelle)

Les extrémités de l'axe E et R sont bien-sûr à distance constante ER = d   (2)

à partir de (1) et (2) on peut écrire que   F₁MF₂ - ER est constante.

Au cours de la propagation, F₁MF₂ correspond au trajet d'une onde secondaire, ER est la longueur du trajet direct.

Fresnel définit le premier ellipsoïde par la propriété :

               F₁MF₂ - F₁F₂ = cste < lambda / 2

         où lambda est la longueur d'onde d'émission ( en FH lambda _cm = 30 / f _GHz)

Toutes les ondes qui suivent leur parcours moyen dans cet ellipsoïde ne sont donc jamais en interférence destructive avec le rayon central.

dimensions de l'ellipsoïde:

Les fréquences FH sont de l'ordre du GHz environ ( 300MHz à 3GHz en UHF par exemple) ce qui correspond à des longueurs d'ondes décimétriques ( 30 cm à 1 GHz).

Les distances d = ER sont de l'ordre du km

remarque importante:

sur l'axe de l'ellipse on peut écrire F₁R + F₂R = F₁F₂ + 2F₂R
considérant la propriété caractéristique (1) appliquée en R on a aussi :

                           F₁R + F₂R - F₁F₂ = lambda /2

                       on en conclut que F₂R = lambda /4

            cela signifie que ER = F_IF₂ + 2 F₂R = d + lambda /2

autant dire, en regard des dimensions précisées plus haut ( d en km et lamda en dm ), que l'ellipsoïde de Fresnel présente les propriétés suivantes:

les foyers sont pratiquement confondus avec les antennes E et R

l'équation caractéristique devient :    EMR - ER = lambda/2 soit encore

                                                           EMR - d = lambda / 2

les dimensions de l'ellipsoïde de Fresnel deviennent alors assez simples à calculer:

grand axe ER: fixé par la distance d entre les antennes ER = d

en plaçant M sur le petit axe on calcule la dimension de celui-ci:

demi- petit axe h : fourni par le théorème de Pythagore h² = (EMR/2)² - (d/2)²
                            avec EMR = d + lamda / 2 on obtient ...

                            EMR² = d² + lambda.d + lambda² / 4

                            soit encore en négligeant lamda² / 4 qui est très inférieur à lamda.d:

EMR ² = d² + lamda.d   et donc h² = 1/4 lambda.d

                            finalement on obtient: h = 1/2 . rac ( lambda.d)


Utilité du calcul de les dimensions de l'ellipsoïde:

Si le FH est tiré au dessus d'une zone d'obstacles ( végétation, constructions ...) il est préférable de "dégager" l'ellipsoïde de Fresnel en surélevant les antennes...ainsi l'antenne de réception recevra un maximum d'énergie.

prenons un exemple: on tire un FH de 6 GHz sur une distance de 5 km
                                 sur le trajet est située une forêt d'arbres
                                 de hauteur moyenne ho = 20m
                                 on cherche à calculer la hauteur H des antennes
                                 permettant le passage du premier ellipsoïde de Fresnel

calcul de lamda: lamda_cm = 30/ f_Ghz = 30 / 6 = 5 donc lambda = 5.10^-2 m
distance ER: d = 5 km = 5.10³ m
calcul de h: h = 1/2 rac ( 5.10^-2 . 5.10³) = 1/2 rac ( 250 ) = 7,9 m

il faudra donc au minimum fixer la hauteur H à H = h + h_o soit :

H = 20 + 7,9 = 28 m

leçon précédente 3 : affaiblissement en espace libre

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