cadran solaire équatorial pointant l'étoile polaire
                   le cercle gradué figure l'équateur céleste
              sur lequel le soleil projette l'ombre de la flèche
                  indiquant ainsi l'heure solaire vraie du lieu
                                         ici 3h45 environ

préambule:

nombreux sont les amis qui attendent que je leur révèle le principe et le tracé du cadran solaire analemmatique de Varleix sur la commune d'Auzers dans le Cantal, un chouette petit coin qu'il faut absolument aller visiter au cours de vos vacances ( la France est le plus beau pays du monde et l'Auvergne la plus belle région de France!)

ce sont ces mêmes amis, les membres et sympathisants  de l'association

                        les CESTONS  ( prononcer "schistou" ) qui ont:

          terrassé l'endroit

                    construit le cadran pierre par pierre (pavés d'écurie)

                                     et créé ses magnifiques graduations en émaux ...

suite à mon déplacement au cours des vacances de Pâques 2005 ma participation s'est limitée :

           au calcul astronomique du cadran 

                     au tracé de son ellipse

                                     et à celui de l'emplacement des graduations


COMMENT SE PRESENTE ET COMMENT DOIT-ON UTILISER CE CADRAN SOLAIRE?

                                                          (that is the good question !)


   comprendre le fonctionnement d'un tel cadran nécessite une petite leçon d'astronomie
               bien que la tâche s'annonce rude et assez longue je me décide donc
                                      à rentrer dans le vif du sujet


quelques mots et photos sur les travaux réalisés:
 
              après avoir fait quelques relevés astronomiques et calculs basiques
           voilà ce que je leur ai donné comme point de départ (tracé en avril 2005 )
           (le plateau-fondation en pierre m'attendait, les lignes oranges c'est le tracé)


                                        voilà ce qu'ils en ont fait...
 
        on dirait qu'une fée est passée par là avec sa baguette magique!

                                je vous laisse admirer leur travail :


                     le cadran est terminé pour l'heure (c'est le cas de le dire)
bien-sûr  les abords restent à faire...un peu de jardinage ( un peu .. hum..hum..!)
                        ...dans quelques mois ce sera splendide

              l'emplacement choisi est une butte qui domine la route de Varleix à Auzers
 
                             cet endroit a été particulièrement bien choisi

            tenez, jetez un coup d'oeil sur le panarama du méridien Sud du cadran:


            avec  vue sur le Puy Mary ....convaincus?... j'espère!

abordons maintenant le  principe du cadran:

il est de type analemmatique horizontal: ce qui signifie que l'heure est lue par l'ombre projetée d'un gnomon* vertical

 *du grec " je montre" qui a donné ensuite "la montre" eh oui!
                          
ce gnomon peut-être un bâton, mieux...une personne se tenant debout sur le cadran

afin de faire correspondre les positions exactes du soleil sur l'écliptique, il faut disposer de deux graduations: une ellipse est-ouest sur laquelle est implantée une série de plots horaires et une échelle méridienne (c'est à dire nord-sud) dont les barreaux représentent les positions que devra occuper le gnomon au cours des saisons (en effet la hauteur du Soleil est variable de mois en mois)

un bon schéma valant mieux qu'un long discours, voici le principe du gnomon


 ci-dessous voici le principe de la lecture horaire de l'ombre, comme si vous voyiez le cadran de dessus (tiens, une bonne idée ce serait de le photographier à partir d'une montgolfière...non?)


la figure comprend  4 quadrants ( quadrant = quart de carré, donc ici quart de la figure), pas cadrans, oui je sais c'est compliqué...



le premier quadrant Q1 représente les graduations du cadran...ainsi que la décoration des deux foyers de l'ellipse: un soleil au foyer Ouest une Lune au foyer Est ( ça fait un peu ésotérique...mais c'est la tradition gnomonique qui veut ça!)

L'ellipse fait 2b= 7,10 m de grand axe est-ouest et de petit axe nord-sud 2a = 5m
la distance entre les foyers est de 5,04m  c'est à dire égale au petit axe, ce qui s'explique par le fait que la latitude du lieu est de 45° environ ...la superficie atteint donc S = pi.ab= 28 m²

....ils ont eu du boulot les amis! chapeau bas....28m² de pose pierre par pierre ..il faut être patient et entreprenant !

Les trois autres quadrants (pas cadran je le répète...) Q2 Q3 Q4 représentent :

- la position occupée par le gnomon
- le principe de la projection de l'ombre
- les états du soleil dans le ciel au cours d'une journée, aux deux solstices et aux deux équinoxes...à savoir: à l'horizon, levant puis ascendant (le matin ), culminant en milieu de journée, déclinant et couchant le soir
- en hachuré, les zones du cadran ( pas quadrant cette fois-ci) non couvertes par l'ombre au cours d'une journée

en regardant attentivement ces schémas on réalise la variabilité de la hauteur du soleil au cours des journées et au cours des saisons, mais aussi la variabilité de la durée du jour éclairé

comment calculer ce type de cadran?

avant de passer à la construction il faut d'abord approcher la théorie des mouvements apparents du soleil pour un lieu déterminé du globe terrestre

ce que l'on veut mesurer sur un cadran, c'est l'heure solaire qui est un angle: celui que fait la projection du soleil (qui occupe l'écliptique) sur l'équateur céleste avec le méridien du lieu considéré

cette projection du  soleil parcourt l'équateur à raison de 15° par heure: on dit que ces heures sont égales, car elles valent toutes un même angle (15° donc)

je voudrais éviter les calculs fastidueux...

suivez les trois étapes de cette figure, cela devrait aller...

bon je pense que jusque là c'est bon...vous avez compris:

- le mouvement diurne de la Terre et donc du méridien local ( ici celui de Varleix)
- le mouvement annuel du Soleil avec sa variation de hauteur h sur l'équateur

donc pour le moment "ça roule"

parlons maintenant du problème de la latitude du lieu:

la latitude c'est la hauteur du lieu par rapport à l'équateur terrestre qui est confondu en parspective dans le ciel avec l'équateur céleste ( en fait c'est le même plan à qui on donne deux noms différents suivant les besoins, et désormais je l'appelerai équateur tout court)

on va admettre le principe suivant si la projection du soleil sur l'équateur tourne à heures égales ( 15° / heure) il n'en est pas de même de la projection de cette projection sur le plan horizontal du lieu...voyons ça de plus près


plaçons le gnomon vertical par rapport au sol le jour de l'équinoxe par exemple (cela simplifie l'exposé) l'angle H n'est pas égal à 15° en une heure de rotation et varie selon les positions choisies pour S' cela provient du fait que la projection du cercle équatorial sur l'horizon est tout simplement ...une ellipse

c'est pourquoi l'on parle d'heures inégales au sujet des graduations repères du cadran

les positions des graduations sont calculées pour lire directement H' projeté de H sur l'ellipse

ces positions se calculent ainsi:



on les repère en coordonnées rectangulaires sur l'ellipse par x et y, par rapport à son centre et à ses axes ( ce qui revient à tracer le cadran pour les deux équinoxes ! )

et l'on applique les formules de projection données sur mon schéma:

        x = b.sin ( n.15°)    y = b.cos (n.15°).sin l

les valeurs de H' sont en cas de besoin données par tanH' = x/y mais seulement en cas de besoin, car c'est x et y qui sont utilisées sur le terrain !

bien sûr b est le demi-grand axe de l'ellipse tracée ( c'est d'ailleurs un nombre que l'on se fixe à l'avance dans le projet initial du cadran ) la valeur du demi-petit axe ( méridien) est quant à elle donnée par

                                             a = b sin l

n est le nombre horaire de la graduation: par exemple -2 pour 10h solaire  0 pour 12h  3 pour 15h etc...

l est l'angle de latitude du lieu ici 45°16' ( 45,267°)

l'échelle des saisons:

de quoi s'agit-il ? vous l'avez compris les graduations tracées pour les positions du soleil à l'équinoxe ( dans ce cas il est sur l'équateur je le rappelle) ne peuvent s'appliquer pour l'heure solaire à d'autres moments de l'année...donc on va tricher en déplaçant le gnomon ! c'est là l'idée de génie du mathématicien et astronome du 18ème siècle Lalande...déplacer le gnomon!

oui mais de combien ?

je ne vais pas trop compliquer l'exposé, mais disons que l'on tient compte de la hauteur h du soleil sur l'équateur ( ou déclinaison) ( voir les figures précédentes) et encore une fois de l'angle de latitude l du lieu ...cela donne après quelques considérations géométriques ardues: 



      soit d le déplacement orthogonal au grand axe nécessaire à la correction:

                                        d = b tan h cos l 

       les valeurs de h sont les suivantes:

         -23,5° le 21 12
         - 20 les 20 01 22 11
         - 10  les 22 02 et 19 10
         0 bien sûr aux équinoxes
         12 les 21 04 21 08
         20 les 20 05 23 07
         23,5 le 21 06

      valeurs prises sur les éphémérides 2005 ( déclinaison du soleil)


lecture du cadran: le temps solaire vrai du lieu

- l'utilisateur se place sur le barreau d'échelle correspondant à la date
- il observe la  position de son ombre sur les graduations
- il note cette position sous la forme  TVL = temps solaire vrai local

exemple: TVL  = 14h30  le 20 Aout

ce temps sera une valeur commune à toutes les localités situées sur le même méridien que lui
mais ce n'est pas le temps légal t (celui de la montre )

pour l'obtenir il lui faudra procéder à quelques corrections

calcul du temps solaire vrai de Greenwich:

le méridien origine est un méridien à partir duquel on dit qu'il est midi de temps vrai de référence pour toutes les longitudes terrestres

le méridien origine est situé à Greenwich (UK)

à l'instant t de passage du soleil au méridien de Varleix de longitude 2°28' Est , le temps solaire vrai du méridien origine (Greenwich)  est inférieur de :

    2°28' x 240s = (2+ 28/60) x 240 = 592 s soit 9 min et 52s (environ 10 min)

il faut donc écrire temps vrai de Greenwich   TVG = TVL - 10 min

calcul du temps moyen TM à l'instant t de l'observation:

la course du soleil sur l'écliptique subit quelques irrégularités, c'est la seconde loi de Kepler

de plus le fait que l'écliptique soit inclinée sur l'équateur engendre une petite variation de la vitesse de rotation de la projection S' sur l'équateur :+/- quelques 1/10 de ° par rapport au  15°/heure

aussi le Soleil S ne passe-t-il pas toujours au méridien tous les 24h exactement, il suit une variation dite:

                               équation du temp EDT

voyons de quoi il s'agit:




 
cela signifie tout simplement que parfois le soleil est en retard sur son passage espéré au méridien par exemple 14 min environ le 11 février, parfois en avance par exemple 16,5 min le 02 novembre, selon la courbe continue ci-dessus

on nomme temps moyen  la somme du temps vrai de Greenwich et de l'équation du temps

on écrit alors   TM = TVG + EDT

ce qui en raison des considérations précédentes donne à Varleix:

                     TM = TVL - 10 min  + EDT  

et maintenant la question cruciale:

comment convertir l'heure solaire en heure légale ?

en été il y a un décalage de 2h entre le temps moyen et le temps légal et de 1h en hiver

donc on y arrive...

      t = TVL - 10 min  + EDT + 2h en horaire d' été

     t = TVL - 10 min  + EDT + 1h en horaire d'hiver

je recapépète donc  TVL= lecture directe de l'ombre sur les graduations
                             10 min = écart temporel  en longitude de Varleix en avance sur Greenwich
                             EDT = variations du passage du Solieil au méridien                          
                             +1h ou + 2h = correctif horaires saisonniers


eh bien voilà! vous avez bien compris comment cela marche!

pour ceux qui trouveraient cela compliqué ( ils n'ont d'ailleurs peut-être pas tort... ça l'est!) je propose une réforme:

- attribuer  à Varleix le méridien origine à la place de Greenwich !!!
- demander au Soleil de suivre à vitesse constante sa course apparente !!!
- exercer une "tolérance zéro" à l'encontre de l'écliptique qui persiste à rester inclinée sur l'équateur terrestre de 23°26'
- enfin demander au gouvernement actuel de supprimer les correctifs saisonniers

 c'est peut-être beaucoup demandé tout ça ???

donc restons en phase avec "la Nature" et acceptons ce calcul compliqué

^{au cas où mes explications ne suffiraient pas à une bonne compréhension}

je vous conseille de consulter le site suivant

avec les changements d'appellation des variables mathématiques:

           mon b devient R
                     mon l devient "phi"
                               mon h devient D


vérification:

le méridien cadran a été vérifié de nuit sur la polaire par une mesure au théodolite laser, au cours d'une opération menée avec Pierre Jean et Frédéric ( beau souvenir sous la voûte étoilée)

il est exact à moins d'une minute d'erreur soit à 1 /1440 près

la seule et véritable cause d'incertitude réside dans la longueur et l'épaisseur de l'ombre du gnomon

pour finir...quelques clichés montrant avec quel matériel et aussi le sérieux avec lequel il faut  travailler pour le tracé:

ci -dessus le gnomon de repérage pour l'alignement du méridien ( c'est un pendule pesant monté sur trépied) par la méthode du relevé des azimuts du Soleil ( le type qui a l'air si sérieux c'est moi, mais je ne suis pas toujours comme ça!)

et ci-dessous les instruments traditionnels de l'astronome: chrono pour le relevé des passages du soleil, cordeau de traçage pour le dessin de l'ellipse et enfin le pentamètre pour le repérage des graduations en coordonnées cartésiennes dans le repère des axes de l'ellipse



conclusion:

un cadran solaire analemmatique est à la fois un objet de décor au sol splendide, qui peut d'ailleurs avoir d'autres fonctions ! de plus c'est un lieu de projection de la belle horloge céleste et solaire qui ne peut que rendre admiratif et aussi philosophe ...


grâce à mes amis  j'ai eu l'occasion de mener une petite mission astronomique d'importance...faire plaisir aux Cantalous en leur traçant l'ébauche du plus grand cadran solaire de leur région et je l'espère le plus beau ...

ils ont fait mieux que le réussir, ils l'ont enfanté, construit ...c'est leur bébé ...et maintenant ils vont aménager ses alentours pour le bonheur des visiteurs qui seront certainement très nombreux

et vous ?

si vous êtes intéressé pour construire un tel cadran dans votre jardin ou sur une terrasse, écrivez moi...je vous donnerai quelques indications et vous ferai les calculs


   jmbprofessionnel@free.fr   et écrivez dans le titre de votre courriel CADRAN SOLAIRE

   peut-être à bientôt ...

                              des vacances sans lecture, c'est pas des vacances !

alors, à lire absolument, en résonance avec la question posée sur Yves Coppens dans la présentation du Blog: 

                                    le numéro Hors Série de Sciences et VIE