la réponse à la question posée est non...

                      tous les nombres de la forme Mp= 2^p -1 ne sont pas premiers

ainsi si  3 = 2²-1  et  7 = 2³-1   31 =2⁵-1 par exemple sont premiers

                  15 = 2⁴-1  ne l'est pas !  ( 15 = 3x5 ) et 63 non plus ( 63= 7x9)

pour qu'un nombre de Mersenne soit premier, il est nécessaire que p le soit, mais si p est premier cela ne suffit pas pour qu'il le soit...

en clair   si Mp = 2p-1 est premier  =>  p est premier

             par contre   p premier  et Mp non premier  est possible
          

            exemple 2¹¹-1 = 2048 = 2047 = 23x89 ne l'est pas

                                                   
              pour en savoir plus
 
      allez donc  ici  chez Eric Wegrzynowski et découvrez le plus grand nombre premier connu

                                qui est aussi un nombre de Mersenne

              allez faire un tour aussi sur notre chère WIKIPEDIA ici   et là