Exercice 1: lentille plan-convexe
1) bien sûr on applique Descartes: n sini = n' sin r qui devient r = arcsin(Nsini) avec N = n/n'
2) abaissant de I une perpendiculaire à l'axe OF' on obtient un point H pour lequel on pourra écrire:
OH = R cos i et HF' = IH / tan (i-r) or IH = R sin i
d'où au final:
OH' = Rcosi + R sini / tan (i -r)
3) si i est petit r l'est aussi ici petit signifie < 10 ° pour els deux angles
donc sin = i cos i = 1 et tan (r-i) = r- i
on obtient donc OF' = r + Ri / (r - i )
la relation de Descartes donne d'autre part r = Ni
donc OF' = R + R / N-1 et au final OF' = R . N / N-1
4) SF' = OF' - R
pour l n' = 1,333 ( eau ) on trouvera SF' = 7m et pour l'air n' = 1 SF' = 1,9m
5) conclusion: si l'indice du milieu d'émergence augmente, le foyer image de la lentille s'éloigne de celle-ci
RETENONS bien cette formule lentille plan convexe: OF' = R. N / N-1
avec N = indice verre/indice extérieur
c'est l'une des plus importantes de l'optique des lentilles, car elle est valable dans les conditions de Gauss pour tout verre et tout milieu d'émergence !
Exercice 2: Sphéromètre
1) la relation devient en regroupant les termes suivant un polynôme en h:
h² - 2Rh + r ² = 0
discriminant réduit D' = R ² - r ² deux solutions h1 = R + rac ( D' ) et h2 = R - rac ( D' )
comme h << R seule la seconde solution est retenue donc h = R - rac ( R² - r² )
2) le calcul numérique pour r = 25 mm et R = 1m ( il s'agit de la lentille de l'exercice 1 )
donne h = = 0,0003125....m soit à 10µm près: h = 0,31 mm
Exercice 3: méthode de Badal pour mesurer la focale d'une divergente
1) le foyer image F'2 de la lentille dvg est placé à f '2 devant le foyer objet F1de la lentille cvg
l'image de ce foyer F'2 est placé à la distance d derrière le foyer image F'1de la lentille cvg
appliquant la loi de position objet image de Newton
( origines des positions aux foyers) : XX' = - f ' ²
on écrit ici avec X = f '2 et X ' = d -f '2.d = f '1² d'où le résultat:
d = - f '1² / f '2
2) avec d = 400mm et f '1 = 200mm on obtient: f '2 = - 100mm
3) la lentille est biconcave symétrique donc la vergence de la lentille vaut V = 2P
où P est la puissance de chaque face P = (n-1) / R
pour calculer R il faut donc poser V = 1/f'2 = 2(n-1) / R qui donne 1 / R = 2(n-1)/f '2
A.N: 1/R = 2( 1,584 -1) / (-0,1) => R = - 0,1168 m = - 11,68 cm environ
R = - 11,7 cm
sauf erreur ou omission...
1) bien sûr on applique Descartes: n sini = n' sin r qui devient r = arcsin(Nsini) avec N = n/n'
2) abaissant de I une perpendiculaire à l'axe OF' on obtient un point H pour lequel on pourra écrire:
OH = R cos i et HF' = IH / tan (i-r) or IH = R sin i
d'où au final:
OH' = Rcosi + R sini / tan (i -r)
3) si i est petit r l'est aussi ici petit signifie < 10 ° pour els deux angles
donc sin = i cos i = 1 et tan (r-i) = r- i
on obtient donc OF' = r + Ri / (r - i )
la relation de Descartes donne d'autre part r = Ni
donc OF' = R + R / N-1 et au final OF' = R . N / N-1
4) SF' = OF' - R
pour l n' = 1,333 ( eau ) on trouvera SF' = 7m et pour l'air n' = 1 SF' = 1,9m
5) conclusion: si l'indice du milieu d'émergence augmente, le foyer image de la lentille s'éloigne de celle-ci
RETENONS bien cette formule lentille plan convexe: OF' = R. N / N-1
avec N = indice verre/indice extérieur
c'est l'une des plus importantes de l'optique des lentilles, car elle est valable dans les conditions de Gauss pour tout verre et tout milieu d'émergence !
Exercice 2: Sphéromètre
1) la relation devient en regroupant les termes suivant un polynôme en h:
h² - 2Rh + r ² = 0
discriminant réduit D' = R ² - r ² deux solutions h1 = R + rac ( D' ) et h2 = R - rac ( D' )
comme h << R seule la seconde solution est retenue donc h = R - rac ( R² - r² )
2) le calcul numérique pour r = 25 mm et R = 1m ( il s'agit de la lentille de l'exercice 1 )
donne h = = 0,0003125....m soit à 10µm près: h = 0,31 mm
Exercice 3: méthode de Badal pour mesurer la focale d'une divergente
1) le foyer image F'2 de la lentille dvg est placé à f '2 devant le foyer objet F1de la lentille cvg
l'image de ce foyer F'2 est placé à la distance d derrière le foyer image F'1de la lentille cvg
appliquant la loi de position objet image de Newton
( origines des positions aux foyers) : XX' = - f ' ²
on écrit ici avec X = f '2 et X ' = d -f '2.d = f '1² d'où le résultat:
d = - f '1² / f '2
2) avec d = 400mm et f '1 = 200mm on obtient: f '2 = - 100mm
3) la lentille est biconcave symétrique donc la vergence de la lentille vaut V = 2P
où P est la puissance de chaque face P = (n-1) / R
pour calculer R il faut donc poser V = 1/f'2 = 2(n-1) / R qui donne 1 / R = 2(n-1)/f '2
A.N: 1/R = 2( 1,584 -1) / (-0,1) => R = - 0,1168 m = - 11,68 cm environ
R = - 11,7 cm
sauf erreur ou omission...
