I Composition fréquentielle d'une image

L' approche scientifique  de l'image s'appuie sur la notion de fréquence spatiale, qui est un paramètre fondamental du traitement du signal en optique.

Qu'est-ce qu'une image ?

disons ce qu'elle contient:

une image contient des informations qui sont:

- les contours ( lignes )

- les fonds ( à plat de couleurs )

l'association locale de contours et de fonds crée les détails de l'image

par exemple, une brindille verte,  un éclat de bois blanc, un morceau d'écorce marron sur une image représentant un bouleau de notre chère Sologne!

ces détails, quelque soit leur échelle constituent les informations de l'image.

Dimensions et formats:

Ces contours et ces fonds occupent un espace sur le format de l'image.

Le format, c'est les deux dimensions du cadre de l'image ( en général rectangle)

Les dimensions d'un détail de l'image sont celles du plus petit  rectangle qui inscrit le détail en entier.

Soit L x l les dimensions par exemple d'un petit rectangle pris sur cette image de format H x h

Par exemple: sur la figure ci-dessous le détail est une lettre A

Sur cette image numérique de 640 x 480 pixels ( H = 640 et h = 480 ) ce détail est une information qui inscrite dans le rectangle  L = 24  l  = 35

Périodes spatiales des informations présentes dans l'image:

On définit par période du rectangle les rapports  X = L / H et  Y = l/h  ce qui donne pour n'importe quelle information les encadrements suivants:

                          0 < X < 1  et 0 < Y < 1

reprenons notre rectangle et le format de l'image évoquée plus haut

alors X = 24 / 640  et Y = 35 / 480

Fréquences spatiales:

On définit la fréquence spatiale par le rapport inverse: fx = 1/ X et fy = 1 /Y

ainsi, pour notre rectangle  fx = 640 / 24 et fy =  480/ 35

Détails fins: ce sont les fréquences spatiales les plus élevées de l'image 

par exemple un pixel tout seul représente fx = 640 et fy = 480 !

Fond total: c'est l'occupation par une couleur de la totalité de l'image

dans ce cas fx = fy = 1


Fréquence spatiale normalisée:

C'est la fréquence ramenée à l'unité pour les détails les plus fins

Dans ce cas on écrit       Fx = fx / H = 1/ L et Fy = fy / h  = 1 / l


Sur notre exemple, les fréquences normalisées du détail " A" sont donc:

                                   Fx = 1 /24  et Fy = 1/35

Ainsi définie, cette fréquence spatiale est  pour chaque détail le plus fin indépendante du format de l'image.

Conséquences:

le  pixel unité aura pour fréquences normalisées:

                                      Fx = 1 et Fy = 1

et une plage étendue sur la totalité du format aura pour fréquence spatiale normalisée:

                                  Fx = 1/H et Fy = 1/h


en gros celà revient à définir une fréquence spatiale en % inverse de l'espace occupé.


II Traitement en ondelettes d'une image:

Une image étant désormais pour nous une répartition de détails aux fréquences spatiales variables, il peut-être interessant de charcher à sélectionner ces fréquences, soit en les filtrant pour épurer l'image de certains détails gênants ( bruit de fond par exemple) soit en cherchant à les recomposer pour former une nouvelle image.
"
Pour être simple et bref, une transformation mathématique appelée Fast Wavelet Transform", en bon français "Transformation Rapide en Ondelette" * , permet d'effectuer cette sélection.

* La FWT est une "super" FFT  "Fast Fourier Transform" qui recherche dans un signal la présence d'ondes sinusoïdales de durée de vie limitée pour les signaux temporels, et d'étendue limitée pour les signaux graphiques, comme ceux qui nous interessent ici.

où trouver un logiciel comprenant une appli FWT ?

Le logiciel utilisé par les Astronomes ( ma confrérie d'origine!) contient, entre autres, un excellent module FWT, ainsi que des routines de sommation, de soustraction et de multiplication d'image: c'est TELEAUTO

pour le télécharger allez ici: teleauto.org

que faire avec ce logiciel ?

prenez une image numérique, ce que vous voulez: un beau paysage, où votre petite soeur en train de boire son chocolat ...aucune importance.

lancez teleauto et ouvrez cette image

sélection d'un seul plan de fréquence:

au menu "filtres "allez chercher "extraire  plan d'ondelette", et choisissez un numéro de plan...c'est tout ...laissez faire et regarder le résultat: vous avez extrait un plan de fréquence de l'image.

par exemple vous avez extrait le plan n° 1: ce sont les fréquences normalisées Fx = Fy = 1

vous avez extrait le plan 5: ce sont les Fx = Fy = 1/5 etc ...

la dernière version de teleauto permet d'extraire les plans de 1 à 9 .

sélection de plans cumulés et extraits de l'image:

toujours au menu "filtres" cette fois-ci allez chercher " extraire ondelettes" et choisissez un nombre de plans n ...

l'image obtenue en fin de traitement est le résidu obtenu en retirant de l'image initiale la somme des plans 1 2 3 ..n ou autrement dit: c'est la somme des plans n+1  n+2  jusqu'à N = 9
 
voilà, c'est aussi simple.

exemple:

voici un cliché que j'ai pris le soir du premier novembre dans le Cantal ( vous vous fichez de ce détail et vous avez bien raison, quoique le Cantal c'est vraiment un beau coin !)




voici son  plan d'ondelettes hautes fréquences, le plan n° 1 à sélectionner dans le menu:



voici son plan 9:


et là, voici la sommation des deux plans:


comme on le voit, au plan scientifique c'est assez riche en information, et au plan artistique cela peut donner quelque chose de particulier.

enfin voici un résidu obtenu en extrayant les plans 1 2 et 3:


cela permet de repèrer les principaux à plat de couleurs.

III:Conclusion:

les fréquences spatiales sont les unités mathématiques du traitement numérique d'une image, ce sont elles qui portent les informations sur sa structure.

les pixels sont eux les unités graphiques, portant une information localisée:

- emplacement dans l'image

- couleur

- amplitude ( luminosité) qui se traduit par la profondeur binaire ( 0 à 255 ) pour l'acquisition 8 bits par photosite du capteur.

On en reparlera bientôt, en seconde année.